Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：
①当x=3时，y=0；
②3a+b＞0；
③-1≤a≤-$\frac{2}{3}$；
④$\frac{8}{3}$≤n≤4．
其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由抛物线的顶点坐标的横坐标可得出抛物线的对称轴为x=1，结合抛物线的对称性及点A的坐标，可得出点B的坐标，由点B的坐标即可断定①正确；②由抛物线的开口向下可得出a＜0，结合抛物线对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，可得出b=-2a，将b=-2a代入3a+b中，结合a＜0即可得出②不正确；③由抛物线与y轴的交点的范围可得出c的取值范围，将（-1，0）代入抛物线解析式中，再结合b=-2a即可得出a的取值范围，从而断定③正确；④结合抛物线的顶点坐标的纵坐标为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，结合a的取值范围以及c的取值范围即可得出n的范围，从而断定④正确．综上所述，即可得出结论．

解答 解：①由抛物线的对称性可知：
抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2-（-1）=3，
即点B的坐标为（3，0），
∴当x=3时，y=0，①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
3a+b=a＜0，②不正确；
③∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3．
令x=-1，则有a-b+c=0，
又∵b=-2a，
∴3a=-c，即-3≤3a≤-2，
解得：-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，③正确；
④∵抛物线的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
∴n=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=c-$\frac{{b}^{2}}{4a}$，
又∵b=-2a，2≤c≤3，-1≤a≤-$\frac{2}{3}$，
∴n=c-a，$\frac{8}{3}$≤n≤4，④正确．
综上可知：正确的结论为①③④．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象以及给定条件逐个分析4条结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的系数表示出来抛物线的顶点坐标是关键．