Question

已知二次函数y＝mx²＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁<0<x₂，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－tan∠CBO＝1.

(1)求证：n＋4m＝0；

(2)求m，n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer 1

 (1)证明：∵二次函数y＝mx²＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x＝2，即－＝2，

化简，得n＋4m＝0.

(2)解：∵二次函数y＝mx²＋nx＋p与x轴交于A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁＜0＜x₂，

∴OA＝－x₁，OB＝x₂，x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝.

令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

由三角函数定义，得tan∠CAO＝＝－，tan∠CBO＝＝.

∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－－＝1.

化简，得＝.

将x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝代入，得化简，得⇒n＝＝±1.

由(1)知n＋4m＝0，

∴当n＝1时，m＝－；当n＝－1时，m＝.

∴m，n的值为：m＝，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－，n＝1(此时抛物线开口向下)．

(3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－，

∴抛物线解析式为：y＝－x²＋x＋p.

联立抛物线y＝－x²＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－x²＋x＋p＝x＋3，

化简，得x²－4(p－3)＝0.

∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，

即Δ＝0²＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

∴y＝－x²＋x＋3＝－(x－2)²＋4.

当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.