Question

6．如图，点P是直线l：y=-2x-2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x²于A，B两点．
（1）若直线m的解析式为y=-x+2，求P，A，B三点的坐标；
（2）若点P的坐标为（-2，2），当PA=PB时，求点A的坐标；
（3）求证：对于直线l上任意一点P，在抛物线上都能找到两个不同位置的点A，使得PA=PB成立？

Answer 1

分析 （1）联立抛物线y=x²与直线y=-2x-2的解析式，求出点A、B的坐标；两个一次函数联立方程组求得点P坐标；
（2）设A（m，m²），分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F，再利用梯形的性质得出B点坐标，代入y=x²求出m的值即可得出A点坐标；
（3）首先设P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B点坐标，进而利用根的判别式求出，无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根，进而得出答案．

解答 解：（1）∵点A、B是抛物线y=x²与直线y=-x+2的交点，
∴x²=-x+2，
解得x=-2或x=1．
当x=-2时，y=4；当x=1时，y=1，
∴A（-2，4），B（1，1）．
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点P（-4，6）；

（2）设A（m，m²），如图1所示，

分别过点P、A、B作x轴垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，
∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
当m=-1时，m²=1；当m=-3时，m²=9
故点A的坐标为（-1，1）或（-3，9）．

（3）证明：设P（a，-2a-2），A（m，m²）．
如图1所示，

分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位线，
∴GE=EF，AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=$\frac{1}{2}$（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵点B在抛物线y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．
即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．

点评 本题考查二次函数综合题，二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形中位线一元二次方程等知识点，有一定的难度．掌握二次函数、一次函数点的坐标特征，正确表示出B点坐标是解题关键．