Question

在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵CD=AB=4，AE⊥BC，
∴AE⊥AD；
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

；
∴

3 3

6

=

AF

4

，解得AF=2

3

．

点评：此题主要考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．