Question

已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，射线BC与⊙A交于点Q（不与点C重合）．
（1）当⊙B过点A时（如图1），求CQ的长；
（2）当点Q在线段BC上时（如图2），设BC=x，CQ=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当由A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）已知了两个圆的半径长，可通过证△CAQ∽△CBA，根据得到的比例线段即可求得CQ的长．
（2）过A作AH⊥BC于H，由于AC=AQ，根据等腰三角形的性质可得到CH、QH的长，在Rt△AQH和Rt△ABH中，分别用勾股定理表示出AH²，联立两式即可得到y、x的函数关系式．
（3）此题要分两种情况考虑：
①点A、Q在⊙B内部时，若四边形APQC是梯形，则PQ∥AC，在（2）题已求得CQ即y的表达式，可根据平行线分线段成比例定理，列式求得x的值；
②当A、Q在⊙B外部时，若四边形APCQ是梯形，则AQ∥PC，可仿照（2）的方法，过A作AH⊥BQ于H，求得QH的表达式，即可得到CQ的长，然后根据平行线分线段成比例定理，即可列式求得x的值．

解答：解：（1）∵C、Q在⊙A上，
∴AC=AQ，∴∠C=∠AQC，
∵⊙B过A、C，
∴BA=BC，∴∠C=∠CAB，
∴∠AQC=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAQ∽△CBA，（1分）
∴AC²=CQ•CB，（1分）
即6²=10•CQ，
∴CQ=3.6．（2分）

（2）作AH⊥CQ，则QH=CH=

y

2

，（1分）
且AQ²-QH²=AB²-BH²；（1分）
∵BH=x-

y

2

，且AQ=6，∴36-

y2

4

=100-(x-

y

2

)2
解之得：y=

x2-64

x

；（8＜x≤16）

（3）当Q在BC上时：如图1
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AC∥PQ，则

BA

AP

=

BC

CQ

∵CQ=y=

x2-64

x

，CB=x，AP=6，
∴

10

6

=

x

x2-64 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=4

10

；（2分）

当Q在BC延长线上时：如图2
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AQ∥PC，则

BP

AP

=

BC

CQ

，
作AH⊥CQ，则QH=CH，且AQ²-QH²=AB²-BH²
即36-QH²=100-（x-QH）²，得QH=

64-x2

2x

，
则CQ=

64-x2

x

，（1分）
则

4

6

=

x

64-x2 x

，
∵x＞0，
∴解得：x=

8

5

10

，（2分）
∴当A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，BC的长为4

10

或

8

5

10

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，注意（3）题要根据A、Q的不同位置分类讨论，不要漏解．