题目内容
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的两个交点分别为A(－4，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，顶点为D．E(1，2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
答案：
解析：
解析：
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(1)由题意，得 所以抛物线的解析式为 (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH＋CH最小，即最小为 DH＋CH＝DH＋HB＝BD＝ ∴△CDH的周长最小值为CD＋DR＋CH＝ 设直线BD的解析式为y＝k1x＋b，则 所以直线BD的解析式为y＝ 由于BC＝2 得CE∶CO＝CG∶CB，所以CG＝2.5，GO＝1.5．G(0，1.5)． 同理可求得直线EF的解析式为y＝ 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H( (3)设K(t， 则KN＝yK－yN＝ 所以S△EFK＝S△KFN＋S△KNE＝ 即当t＝－ |
解得
，b＝－1．
，顶点D的坐标为(－1，
)．
．而
．
．
解得
，b1＝3．
x＋3．
，CE＝BC/2＝
，Rt△CEG∽△COB，
x＋
．
，
)．
)，xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
．
．
)．
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，且与抛物线y2＝ax2－ax－1，相交于A，B两点．
