Question

【题目】如图①ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．

（1）求证：OE=OF

（2）如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2，∠DOF=∠α，

①当∠α为多少度时，EF⊥AC？

②连结AF，求△ADF的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①当为时，；②的周长为．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（2）①利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，则，若，根据角互余的定义即可得出答案；

②由①的结论、平行四边形的性质可得EF垂直平分AC，从而根据垂直平分线的性质可得，由此即可得出的周长．

（1）∵四边形ABCD 是平行四边形

∴

∴

在和中，

∴

∴；

（2）①∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴

又

∴

是等腰直角三角形

若，则

∴

故当为时，；

②∵四边形ABCD 是平行四边形

又∵

∴EF垂直平分AC

∴

由①知，，即

则的周长为

故的周长为．