Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是

 

．当t=3时，正方形EFGH的边长是

 

．
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤

6

11

时；②当

6

11

＜t≤

6

5

时；③当

6

5

＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（3）根据t的取值范围分别进行分析得出最值，即可得出面积最大值．

解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的边长是4．
故答案为：2，4；

（2）
，
如图1，EP=FP=t，HE=EF=2t，
如图2，EP=FP=t，HE=EF=2t，
AE=AP-EP=2-t，
由

HE

AE

=

6

8

，即

2t

2-t

=

6

8

得t=

6

11

，
故S_重叠面积=S_正方形=（2t）²=4t²（0≤t≤

6

11

），
如图4，AE=AP-EP=2-t，
LE=

3

4

AE=

3

4

(2-t)，
HL=HE-LE=2t-

3

4

（2-t），
HM=

4

3

HL=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]，
由HG=

4

3

HL，即2t=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]
解得：t=

6

5

，

如图3，AE=AP-EP=2-t，
LE=

3

4

AE=

3

4

(2-t)，
HL=HE-LE=2t-

3

4

（2-t），
HM=

4

3

HL=

4

3

[2t-

3

4

（2-t）]，
S_重叠面积=S_正方形-S_△HLM=EF²-

1

2

HL×HM=-

25

24

t²+

11

2

t-

3

2

（

6

11

＜t≤

6

5

）；

如图5，AE=AP-EP=2-t，LE=

3

4

AE=

3

4

（2-t），MF=

3

4

AF=

3

4

（2+t），
S_重叠面积=S_梯形LEFM=

1

2

（EL+MF）×EF=3t（

6

5

＜t≤2），

（3）由（2）知：当0＜t≤

6

11

时，
S与t的函数关系式是S=2t×2t=4t²=

144

121

；
当

6

11

＜t≤

6

5

时，
S与t的函数关系式是：
S=-

25

24

t²+

11

2

t-

3

2

=

18

5

；
当

6

5

＜t≤2时；
S与t的函数关系式是：
S=3t=6；



当t＞2时，观察正方形与三角形的重叠面积随t值变化情况，容易得到只有当

10

3

≤t≤

22

3

时，S才有可能取到最大值．如图7，图8，图9，图10，图11，图12，
显然，图10，图12是图11的特殊情况，只要算出图11的重叠面积关于t的函数关系式，即可得出在图11中，
由PA+AE=t，得AE=t-2，FB=AB-AE-EF=10-（t-2）-4=8-t，
由LE=

3

4

AE=

3

4

（t-2），HL=HE-LE=4-

3

4

（t-2），HM=

4

3

HL=

4

3

[4-

3

4

（t-2）]
得S_△HLM=

1

2

HL×HM=

1

2

[4-

3

4

（t-2）]×

4

3

[4-

3

4

（t-2）]
由FB=AB-AE-EF=10-（t-2）-4=8-t，则FK=

4

3

（8-t），GK=GF=4-

4

3

（8-t），
由NG=

3

4

GK=

3

4

[4-

4

3

（8-t）]，
则S_△NGK=

1

2

GK×NG=

1

2

[4-

4

3

（8-t）]×

3

4

[4-

4

3

（8-t）]，
S_重叠面积=16-S_△NCK-S_△HLM═-

25

24

t²+

73

6

t-

125

6

，
=-

25

24

（t-

146

25

）²+

1102

75

∴综上所述，当t=

146

25

时S有最大值，为

1102

75

．
由图形知，在整个过程中，S取得最大值只会在图11中产生，故当t=

146

25

时S有最大值，为

1102

75

．

点评：此题主要考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．