Question

如图，已知二次函数y=-

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x²+4x+c的图象经过坐标原点，并且与函数y=

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x的图象交于O、A两点．
（1）求c的值；
（2）求A点的坐标；
（3）若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图象交于点E，求线段EF的最大长度．

Answer 1

分析：（1）二次函数y=-

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x²+4x+c的图象经过坐标原点，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解抛物线的解析式与函数y=

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x的解析式组成的方程组就可以求出A点的坐标．
（3）直线OA的解析式可以利用待定系数法求出函数的解析式，设E点的横坐标是x，把x代入抛物线的解析式，以及直线OA的解析式，就可以求出两个函数交点的纵坐标，纵坐标的差就是EF的长，EF的长可以表示成x的函数．可以转化为函数的最值问题．

解答：解：（1）（0，0）代入y=-

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2

x²+4x+c
解得：c=0．

（2）根据题意得到

y=- 1 2 x2+4x+c y= 1 2 x

，
解得

x=7 y= 7 2

，
则A（7，

7

2

）．

（3）设此直线为x-a，则E（a，-

a2

2

+4a），F（a，

a

2

），
∴EF=-

1

2

a²+4a-

1

2

a=-

1

2

a²+

7

2

a
=-

1

2

（a-

7

2

）²+

49

8

∴当a=

7

2

时，EF最大长度为

49

8

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点的求法，最值问题一般是转化为函数的最值问题．