Question

【题目】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（　　）

A.1个
B.2个
C.31个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中， ，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中， ，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴ ，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．