Question

16．如图，BD为正方形ABCD的对角线，点G是CD延长线上一点，连接AG，过AG上的点E作EF⊥AG交BD于点F，连接GF，已知EG=EB．
（1）若EB=3，BG=2，求DB的长度．
（2）证明：EF=BE．

Answer 1

分析 （1）在RT△AGB中，由EG=EB可以证明E是AG中点，进而可以求出AG，AB，BD的长度．
（2）连接AF，FC可以证明∠AFG=90°，根据直角三角形斜边中线定理EF=$\frac{1}{2}$AG，EB=$\frac{1}{2}$AG，可以得到结论．

解答 （1）解：∵BE=GE，
∴∠EBG=∠EGB，
∵∠EBG+∠EBA=90°，∠AGB+∠GAB=90°，
∴∠EBA=∠EAB，
∴EA=EB，
∴AG=2BE=6，
∵GB=2，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$
=4$\sqrt{2}$
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×$4\sqrt{2}$=8．
（2）证明：连接AF，FC，
由（1）可知AE=GE，EF⊥AG，
∴AF=FG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠HBF=∠IBF=45°，
∵AB=CB，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴FA=FC=FG，
∴∠BAF=∠BCF=∠FGC，
∵∠GOB+∠OGB=90°，∠AOF=∠GOB，
∴∠OAF+∠AOF=90°，
∴∠AFG=90°，
∵AE=EG，∴EF=$\frac{1}{2}$AG，∵EB=$\frac{1}{2}$AG，
∴EF=EB．

点评 本题目考查了正方形的性质，直角三角形的斜边中线定理，全等三角形的等知识．利用斜边中线等于斜边的一半，是解决EF=EB的关键．