Question

如图，抛物线y=-

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2

x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使得四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得点A，C的坐标，代入函数解析式即可求得b，c的值；
（2）根据题意求的点B的坐标，即可求得△OBC为等腰三角形，可得点E的横纵坐标相等，解方程即可求得点E的坐标；
（3）作PE∥OB，根据平行四边形的判定定理，证得PE=OB即可．

解答：解：（1）由图可得A（-2，0）、C（0，3），
∵A、C在抛物线y=-

1

2

x2+bx+c上，
∴

0=-2-2b+c 3=0+0+c

，
解得

b= 1 2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

1

2

x+3．（4分）

（2）过O作OD⊥BC垂足为D交抛物线于E，
由（1）得抛物线与x轴的交点B（3，0），
∴OB=OC即△OBC为等腰直角三角形，
∵OD⊥BC，
∴∠EOB=45°，
又∵E在第一象限内，
∴易知E的横坐标与纵坐标相等．
设E（x，x），则有x=-

1

2

x2+

1

2

x+3，
解得x₁=2，x₂=-3（不合题意，舍去），
∴E（2，2）．（9分）

（3）过E作EP∥OB交抛物线于P，设P（m，n），
∵EP∥OB，
∴n=2，
由于P在抛物线上，
∴2=-

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2

m2+

1

2

m+3，
解得m₁=-1，m₂=2（不合题意，舍去）．
∴P（-1，2），
∵PE∥OB且PE=OB，
∴四边形OBEP是平行四边形，
∴存在一点P（-1，2）使得四边形OBEP是平行四边形．（14分）

点评：此题考查了二次函数与三角形以及平行四边形的综合知识，解题时要注意认真审题，要注意数形结合思想的应用．