Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

∴，

解得，

∴抛物线的解析式：y=﹣x²+4x﹣3，

由y=﹣x²+4x﹣3=﹣（x﹣2）²+1，可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）存在；

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3，

设P（x，﹣x²+4x﹣3），则F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x²+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x²+3x=﹣（m﹣）²+，

∴当x=时，PF有最大值为．

∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直线AD的解析式为：y=x﹣1；

直线BC的解析式为：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．

∵AF∥y轴，∴F（1，﹣2），∴AF=2．

①当0≤t≤时，如答图1﹣1所示．

此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=AA′=t．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×t=t；

②当＜t≤2时，如答图1﹣2所示．

设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，

则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=S_{▱PC′F′A′}﹣S_△A′DQ=2×1﹣（t﹣）²=﹣t²+t+1；

③当2＜t≤3时，如答图1﹣3所示．

设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3，CC′=t，∴BC′=3﹣t．

∴S=S_△BC′Q=（3﹣t）²=t²﹣3t+9．

综上所述，S与t的函数关系式为：

S=