Question

4．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，在AB上取一点F，连接DF，EF，恰有DF=EF．若∠DFE=90°，则sin∠EDC的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{10}$

Answer 1

分析 由矩形的性质得出AD=BC，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°，证出∠ADF=∠BFE，由AAS证明△ADF≌△BFE，得出对应边相等AF=BE，BF=AD，设BE=CE=x，则AF=x，BF=AD=BC=2x，CD=AB=3x，由勾股定理求出DE，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∵∠DFE=90°，
∴∠AFD+∠BFE=90°，
∴∠ADF=∠BFE，
在△ADF和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{∠ADF=∠BFE}&{\;}\\{DF=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BFE（AAS），
∴AF=BE，BF=AD，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
设BE=CE=x，则AF=x，BF=AD=BC=2x，
∴CD=AB=3x，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴sin∠EDC=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
故选：D．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．