Question

【题目】在平面直角坐标系中，为原点，点，点.若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为.

（Ⅰ）如图①，当时，求与的交点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当时，求点的坐标；

（Ⅲ）若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的坐标为；（Ⅱ）点的坐标为；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）当α=45°时，则，点在y轴上，根据勾股定理可得的长，再根据Rt△为等腰直角三角形，可得，从而得出点D的坐标；
（Ⅱ）过作轴，垂足为，与轴交于点. 当时，可证得，再利用直角三角形中所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，求出OD和，同理可求出的长，从而得出点B′的坐标；
（Ⅲ）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK=OC′=3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．

解：（Ⅰ）∵点，点，为正方形，

∴，.

∵正方形是正方形旋转得到的，

∴，.

∴，.

∴.

∴点的坐标为.

（Ⅱ）过作轴，垂足为，与轴交于点.

∵，

∴.

∵,=6

∴,，.

∴.

∵, , ∴.

∴，.

∴.

∴点的坐标为.

（Ⅲ）.

如图③，连接OB，AC相交于点K，
则K是OB、AC的中点，
∵P为线段BC′的中点，
∴PK=OC′=3，AK=
∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，
∴AP最大值为AK+KP＝，AP的最小值为AK-KP＝，
∴AP长的取值范围为:.