题目内容

如图，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=PO，点P到x轴的距离是 $数学公式$ ，则m的值为________．

$\text{[math]}$
分析：对点P的纵坐标进行分类讨论：点P的纵坐标是 $\text{[math]}$ 和- $\text{[math]}$ 两种情况．然后利用一次函数图象上点的坐标特征和两点间的距离公式进行解答．
解答：∵点P到x轴的距离是 $\text{[math]}$ ，
∴点P的纵坐标是 $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ．
∴设点P的坐标为（x， $\text{[math]}$ ）或（x，- $\text{[math]}$ ）．
①当点P的坐标为（x， $\text{[math]}$ ）时．
∵点P在直线y=-x+m上，
∴ $\text{[math]}$ =-x+m，
解得，x=m- $\text{[math]}$ ，即P（m- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
又∵点A的坐标是（4，0），AP=PO，
∴（4-m+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ =（m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
解得，m= $\text{[math]}$ ；
②同理，当点P的坐标为（x，- $\text{[math]}$ ）时，
（4-m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ =（m+ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
解得，m=- $\text{[math]}$ ；
综上所述，m的值为 $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ．
故答案是： $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时，采用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．