Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x²+mx+n（n≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的上方），DE=

2

，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线y=

1

2

x²+mx+n与y轴交于点C
∴C（0，n）
∵BC∥x轴
∴B点的纵坐标为n
∵B、A在y=x上，且OA=OB
∴A（-n，-n），B（n，n）
∴

1 2 n2+mn+n=n 1 2 n2-mn+n=-n

解得：n=0（舍去），n=-2；m=1
∴所求解析式为：y=

1

2

x²+x-2

（2）作DH⊥EG于H
∵D、E在直线y=x上
∴∠EDH=45°
∴DH=EH
∵DE=

2

∴DH=EH=1
∵D（x，x）
∴E（1+x，1+x）
∴F的纵坐标：

1

2

x²+x-2，
G的纵坐标：

1

2

（x+1）²+（x+1）-2
∴DF=x-（

1

2

x²+x-2）=2-

1

2

x²，EG=（x+1）-[

1

2

（x+1）²+（x+1）-2]=2-

1

2

（x+1）²
∴y=

1

2

[2-

1

2

x²+2-

1

2

（x+1）²]×1
y=-

1

2

x²-

1

2

x+

7

4

，
y=-

1

2

（x+

1

2

）²+

15

8

，
∴x的取值范围是-2＜x＜1．当x=-

1

2

时，y最大值=

15

8

．