Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC的平分线交△ABC外接圆于点D，连接BD，若AB=2AC=4．
（1）则BD长为2．
（2）设点P在优弧CAB上由点C向点B移动，但不与点C、B重合，记∠PBC的角平分线与PD交点为I，点I随点P的移动所经过的路径长l的取值范围是0＜l＜$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用锐角三角函数关系得出∠BAC=60°，即可得出∠BAD=30°，进而求出BD的长即可；
（2）利用I为△CPB的内心，动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），可求出弧CIB的长为$\frac{4}{3}$π，进而求出l的取值范围．

解答 解：（1）∵∠BCA=90°，AB=2AC=4，
∴AC=2，则cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAC的平分线交△ABC外接圆于点D，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$B=2．
故答案为：2．

（2）如图，设I为△CPB的内心，
则∠PBI=∠IBC，
∵BD=CD，
∴∠BPD=∠DBC，
∴∠PBI+∠BPD=∠IBC+∠CBD，即∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵BD=CA=2，
∴ID=2，
∴动点I到定点D的距离为2，即点I的轨迹是以点D为圆心，2为半径的弧CIB（不含点C、B），
弧CIB的长为：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
则l的取值范围是：0＜l＜$\frac{4π}{3}$．
故答案为：0＜l＜$\frac{4π}{3}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及有关圆的性质和锐角三角函数关系、弧长公式等知识，得出$\widehat{CIB}$的长是解题关键．