题目内容

如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，PA=2cm，PC=1cm，则图中阴影部分的面积S是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：连AC，OC，由PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，得到∠PAB=90°，∠ACB=90°，易得Rt△PAC∽Rt△PBA，于是PA²=PC•PB，而PB=4，所以∠B=30°，AB=2 $\text{[math]}$ cm，三角形OAC为等边三角形．S_阴影部分=S_△PAC-S_弓形AC=S_△PAC-（S_扇形OAC-S_△OAC），分别运用扇形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可．
解答：

解：连AC，OC，如图，
∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，∠ACB=90°，
∴Rt△PAC∽Rt△PBA，
∴PA²=PC•PB，
而PA=2cm，PC=1cm，
∴PB=4，
∴∠B=30°，AB=2 $\text{[math]}$ cm，
∴∠AOC=60°，AC=OA= $\text{[math]}$ cm，
∴S_阴影部分=S_△PAC-S_弓形AC，
=S_△PAC-（S_扇形OAC-S_△OAC），
= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²，
= $\text{[math]}$ cm²．
故选C．
点评：本题考查了扇形的面积公式：S= $\text{[math]}$ ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S= $\text{[math]}$ lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了切线的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．