题目内容
在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，点E为射线BC上的一动点（不与点B、C重合），过点E作EF⊥AB，FE分别交线段AB、射线DC于点F、G．
（1）如图，当点E在线段BC上时，
①求证：△BEF∽△CEG；
②如设BE=x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）点E在射线BC上运动时，是否存在S△AFD：S△DEC=3：2？如存在，请求出BE的长；如不存在，请说明理由．
解：（1）
①证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，
在Rt△CEG中，
∴
，
自变量的取值范围是：0＜x＜3．
（2）
①当点E在线段BC上时，
∵S△AFD：S△DEC=3：2，
∴
：
=3：2，解得：
（符合要求）
②当点E在BC延长线（3＜x＜8）上时，∵S△AFD：S△DEC=3：2
∴：
=3：2，解得：BE=4（符合要求）
分析：（1）①可通过平行线间的内错角相等，即可得出这两个三角形中的两组对应角相等，进而可得出相似的结论．
②根据①的相似三角形，我们可得出∠G=90°，那么DG就是三角形DEF中EF边上的高，那么关键是求出EF和CG的长．直角三角形BEF中，可根据BE和∠B的度数，表示出EF的长，同理可用CE和∠ECG的度数表示出CG的长．那么就求出了EF和DG的长，也就得出了关于x，y的函数关系式．
（2）同（1）的方法类似，也是用边和角的度数通过三角形函数求出各三角形的高，然后根据面积比为3：2得出x的值，然后看是否符合要求即可．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及二次函数等综合知识的应用．根据已知条件求出各三角形的底和高是解题的关键．
①证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠B=∠BCG，∠BFE=∠EGC，
∴△BEF∽△CEG．
②在Rt△BEF中，∠B=60°，
在Rt△CEG中，
∴，自变量的取值范围是：0＜x＜3．
（2）
①当点E在线段BC上时，
∵S△AFD：S△DEC=3：2，
∴
：=3：2，解得：（符合要求）②当点E在BC延长线（3＜x＜8）上时，∵S△AFD：S△DEC=3：2
∴
：=3：2，解得：BE=4（符合要求）分析：（1）①可通过平行线间的内错角相等，即可得出这两个三角形中的两组对应角相等，进而可得出相似的结论．
②根据①的相似三角形，我们可得出∠G=90°，那么DG就是三角形DEF中EF边上的高，那么关键是求出EF和CG的长．直角三角形BEF中，可根据BE和∠B的度数，表示出EF的长，同理可用CE和∠ECG的度数表示出CG的长．那么就求出了EF和DG的长，也就得出了关于x，y的函数关系式．
（2）同（1）的方法类似，也是用边和角的度数通过三角形函数求出各三角形的高，然后根据面积比为3：2得出x的值，然后看是否符合要求即可．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及二次函数等综合知识的应用．根据已知条件求出各三角形的底和高是解题的关键．
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