Question

如图24­20，已知AB为⊙O的直径，BD为⊙O的切线，过点B的弦BC⊥OD交⊙O于点C，垂足为点M.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)当BC＝BD，且BD＝6 cm时，求图中阴影部分的面积(结果不取近似值)．

Answer 1

(1)证明：连接OC.

∵OD⊥BC，O为圆心，

∴OD平分BC.∴DB＝DC.

∴△OBD≌△OCD(SSS)．

∴∠OCD＝∠OBD.

又∵BD为⊙O的切线，∴∠OCD＝∠OBD＝90°.

∴CD是⊙O的切线．

(2)解：∵DB，DC为切线，B，C为切点，

∴DB＝DC.

又∵DB＝BC＝6，∴△BCD为等边三角形．

∴∠BOC＝360°－90°－90°－60°＝120°，

∠OBM＝90°－60°＝30°，BM＝3.

∴OM＝，OB＝2 .

∴S_阴影部分＝S_扇形OBC－S_△OBC

＝－×6×＝4π－3 (cm²)．