Question

【题目】如图，△ABC中，P'是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，在边BC上，点N'在△ABC内．连接BN'，并延长交AC于点N，NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．

（1）求证：四边形PQMN为正方形；

（2）若∠A=90°，AC=1.5m，△ABC的面积=1.5m2．求PN的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PN的长为m．

【解析】

（1）先证得四边形PQMN为矩形．根据正方形的性质得到PN∥P'N'，MN∥M'N'，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论；

（2）作AD⊥BC于D，AD交PN于E，根据△ABC的面积=1.5m2求出AB=2，BC=2.5，AD=，设PN=x，则PQ=DE=x，AEx，由PN∥BC证得△APN∽△ABC，即可求出PN.

（1）∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，

∴四边形PQMN为矩形．

∵四边形P'Q'M'N'是正方形，

∴PN∥P'N'，

∴，

∵MN∥M'N'，

∴，

∴，

而P'N'=M'N'，

∴PN=MN，

∴四边形PQMN为正方形；

（2）作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，

∵△ABC的面积=1.5，

∴ABAC=1.5，

∴AB=2，

∴BC2.5．

∵BCAD=1.5，

∴AD，

设PN=x，则PQ=DE=x，AEx．

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，即，

解得：x，

即PN的长为m.