题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）
；（2）存在，点P
，使△PAC的面积最大；（3）存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．
【解析】
（1）直接把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为（m，n），则n＝﹣
m2﹣
m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各点坐标．
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴
∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM＝﹣m2﹣m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．
∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，
∴OC＝2，
∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO
＝
AOPM+COPN﹣AOCO
＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2
＝﹣m2﹣3m
∵a＝﹣1＜0
∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值
∴当m＝﹣
＝﹣
时，S△PAC有最大值．
∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝
，
∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大．
（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
在△Q1CD与△CBO中，
∵
，
∴△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴Q1（2，3）；
同理可得Q4（﹣2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ2E，
∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，
∴Q2（3，1），
同理，Q3（﹣1，﹣1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．
