Question

如图，正方形ABCD边长为10cm，P、Q分别是BC、CD上的两个动点，当P点在BC上运动时，且AP⊥PQ．
（1）求证：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP等于多少时，四边形ABCQ的面积为62cm²．

Answer 1

分析：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，再由∠BAP+∠APB=∠APB+∠PQC=90°，从而得出∠BAP=∠PQC，则△ABP∽△PCQ；
（2）设BP=x．根据△ABP∽△PCQ，得出关于x的一元二次方程，求出x即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°．
在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPQ．
∴△ABP∽△PCQ．

（2）解法1：设BP=x．
∵△ABP∽△PCQ，
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，
∴

x

CQ

=

10

10-x

，
∴CQ=

-x2+10x

10

，
∴

1

2

•(

-x2+10x

10

+10)•10=62，
整理，得x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．
解法2：设BP=x．
∵S_Rt△ADQ=S_{正方形ABCD}-S_{四边形ABCQ}=100-62=38．
∴

1

2

AD•DQ=38，
∴DQ=

38

5

，
∴QC=CD-DQ=10-

38

5

=

12

5

．
∵△ABP∽△PCQ，
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，

x

12 5

=

10

10-x

，
整理，得x²-10x+24=0．
解得x₁=4，x₂=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm²．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，两个角对应相等，两三角形相似，这是证明两个三角形相似常用的方法．