Question

已知两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，截线CD分别交l₁、l₂于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l₁、l₂与A、B两点．

（1）操作发现

如图1，过点P作直线l₃∥l₁，作PE⊥l₁，点E是垂足，过点B作BF⊥l₃，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？

（2）猜想论证

将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．

（3）延伸探究

在（2）的条件下，当截线CD与直线l₁所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4？请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，

∴∠EPA=∠FPB，

又∵∠PEA=∠PFB=90°，

∴△PEA∽△PFB；

（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，

∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，

当AE=BF时，PA=PB，

∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，

∴△PEA≌△PFB，

∴PA=PB；

（3）如图2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，

∴PE=x，

由题意，PE+BF=6，BF=AE，

∴AE=6﹣x，

当AB=4时，由题意得PA=2，

Rt△PEA中，PE²+AE²=PA²，

即（）²+（6﹣x）²=40，

整理得：x²﹣12x﹣8=0，

解得：x=6﹣2＜0（舍去）或x=6+2，

∵x=6+2＞6+6=12，又CD=12，

∴点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，

∴不合题意，

综上，不存在满足条件的实数x．