Question

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t=秒时，则OP=      ，S_△ABP=            ；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.

Answer 1

解：（1）1，；

（2）①∵∠A<∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角.

②当∠ABP=90°时，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB，即2t=2.

∴t=1.

③当∠APB=90°时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP=∠PDB=90°.

∵OP=2t，

∴OD=t，PD=t，AD=2+t，BD=1-t（△BOP是锐角三角形）.

解法一：∴BP²=（1-t）² +3t²，AP²=(2+t)²+3t².

∵BP²+AP²=AB²，

∴(1-t)²+3t²+(2+t)²+3t²=9，

即4t²+t-2=0.

解得t₁=，t₂= （舍去）.

解法二：∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，

∴∠APD=∠B.

∴△APD∽△PBD.

∴

∴PD²=AD·BD.

于是(t)²=(2+t)(1-t)，即 4t²+t-2=0.

解得t₁=，t₂= （舍去）.

综上，当△ABP为直角三角形时，t=1或.

（3）解法一：∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

作OE∥AP，交BP于点E，

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

已知∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1，BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=´2´1=3.

解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.

∵AQ∥BP，

∴∠QAP=∠APB.

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∴∠QAP=∠B.

又∵∠QOP=∠B，

∴∠QAP=∠QOP.

∵∠QFA=∠PFO，

∴△QFA∽△PFO.

∴，即.

又∵∠PFQ=∠OFA，

∴△PFQ∽△OFA.

∴∠3=∠1.

∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

已知∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴∠2=∠3.

∴△APQ∽△BPO.

∴.

∴AQ·BP=AP·BO=3´1=3.