Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点．

求二次函数的解析式及点的坐标．

点是线段上的一动点，动点在直线下方的二次函数图象上．设点的横坐标为．过点作于点求线段的长关于的函数解析式，并求线段的最大值．

Answer 1

【答案】（1），点的坐标为；（2），有最大值

【解析】

（1）根据一次函数的解析式，可得B，C的坐标，由待定系数法，可求得二次函数的解析式；

（2）过点作轴的平行线与交于点，由D，H的坐标特征，可设，，易得BOC~DMH，从而得，进而即可得到结论．

（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，

∴令y=0，得，解得：x=4，令x=0，得：y=-2，

∴点的坐标分别为．

将点的坐标代入二次函数的解析式得：，解得：，

∴二次函数的解析式为：，

当时，，解得：或，

点的坐标为；

（2）过点作轴的平行线与交于点，

∵OB=4，OC=2，

∴BC=，

∵点的横坐标为，点是线段上的一动点，动点在直线下方的二次函数图象上，

∴点，点（0＜m＜4），

∵DH∥y轴，

∴∠OCB=∠MHD，

∵∠OCB+∠OBC=∠MHD+∠MDH=90°，

∴，

∵∠BOC=∠DMH=90°，

∴BOC~DMH，

∴，

，（0＜m＜4），

，

∴当m=2时，的最大值=．