Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=$\sqrt{2}$+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1．

Answer 1

分析 ①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=$\sqrt{2}$MB′，列方程即可得到结论．

解答 解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$；
②如图2，当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM=$\sqrt{2}$MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM=$\sqrt{2}$BM，
∵BC=$\sqrt{2}$+1，
∴CM+BM=$\sqrt{2}$BM+BM=$\sqrt{2}$+1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1，
故答案为：$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$或1．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．