题目内容
已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点与点O重合并将三角板绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角板的直角边与边AC、BC的交点．
（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2之间满足的数量关系式，并说明理由．
②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．
（1）如图①，当点M与点A重合时，求BN的长．
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2之间满足的数量关系式，并说明理由．
②若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你直接写出此时BN的长．
考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理
专题：
分析：（1）连接AN，可证明△OAN≌△OBN，可得BN=AN，根据RT△中AC2+CN2=AN2和BN+CN=BC，即可解题；
（2）①结论为AM2+BN2=CN2+CM2，延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，可以证明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根据RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可验证结论；
②根据CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，将AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的长，即可解题．
（2）①结论为AM2+BN2=CN2+CM2，延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，可以证明△EOA≌△NOB，可得AE=BN，再根据RT△AEM和RT△CMN中勾股定理即可验证结论；
②根据CM=CN，CM+AM=AC，CN+BN=BC，将AM，BN，CN，CM的值代入上式即可求得CN的长，即可解题．
解答：
解：（1）连接AN，如图①，
∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=
=8，
在△OAN和△OBN中，
，
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
设BN=x，则CN=8-x，
∵AC2+CN2=AN2，
∴═
；
（2）①AM2+BN2=CN2+CM2，
证明：延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，
，
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分线性质可得：MN=EM，
∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，
∴AM2+BN2=CN2+CM2．
②∵①中已经证明：AM2+BN2=CN2+CM2，
设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=
，
∴BN=
．
解：（1）连接AN，如图①，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=
| 102-62 |
在△OAN和△OBN中，
|
∴△OAN≌△OBN（SAS），
∴NB=AN，
设BN=x，则CN=8-x，
∵AC2+CN2=AN2，
∴═
| 25 |
| 4 |
（2）①AM2+BN2=CN2+CM2，
证明：延长NO到E，使EO=NO，连结AE、EM、MN，
在△EOA和△NOB中，
|
∴△EOA≌△NOB（SAS），
∴AE=BN，∠EAO=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠EAC=90°
由垂直平分线性质可得：MN=EM，
∵AE2+AM2=EM2，CN2+CM2=MN2，
∴AM2+BN2=CN2+CM2．
②∵①中已经证明：AM2+BN2=CN2+CM2，
设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=
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| 7 |
∴BN=
| 31 |
| 7 |
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证AE=BN是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知实数a，b分别满足a2-4a+6=0，b2-4b+6=0，且a≠b，则
+
的值（ ）
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| A、1.5 | ||
| B、-1.5 | ||
C、
| ||
D、-
|
在平面直角坐标系中，已知点A（3，-1），B（1，0），C（2，1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于原点对称的图形．
找一找，图中有