Question

如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．

（1）若∠F=80，则∠ABC+∠BCD=　 　；∠E=　 　；

（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为　 　．

Answer 1

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分线定义得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；

（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

【解答】解：（1）∵∠F=80，

∴∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°．

∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，

∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；

∵四边形ABCD的内角和为360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，

∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，

∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，

∴∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；

 

 

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：

∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，

∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，

∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，

∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，

∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，

∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

 

（3）AB∥CD．

故答案为200°；100°；AB∥CD．

【点评】本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，等式的性质，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键．