Question

如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．试问，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）∠BAP=90°，易得P₁（0，2）；
（2）∠ABP=90°，易得P₂（0，-3）；
（3）∠BAP=90°（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P₃、P₄、P₅、P₆，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴．在Rt△OO′p₃中，利用勾股定理求出P₃D，OP₃，再连接O′P₄，O′P₆，即可求出P₄，P₆的坐标．

解答：解：（1）∠BAP=90°易得P₁（0，2）；

（2）∠ABP=90°易得P₂（0，-3）；

（3）∠BAP=90°；
（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P₃、P₄、P₅、P₆
AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴，
在Rt△OO′p₃中易知O′D=2，O′p₃=

5

2

，则P₃D=

25 4 -

4=

3

2

，
OP₃=P₃D-OD=

3

2

-

1

2

=1，则P₃（0，1）易知P₃D=P₅D，
则P₅（0，-2），连接O′P₄，O′P₆，
易求出P₄（2-

6

，0）P₆（2+

6

，0）
综上所述P₁（0，2），P₂（0，-3），P₃（0，1），
P₄（2-

6

，0），P₅（0，-2），P₆（2+

6

，0）．

点评：此题主要考查学生对勾股定理和坐标与图形性质的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于中档题．