Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，AE切⊙O于点A，交BC的延长线于点E，连接AC．求证：AE²=EB•EC．

Answer 1

分析：由于AE是切线，利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA，再加上一对公共角，容易证出△EAC∽△EBA，那么可得比例线段，即可证．

解答：证明：∵AE切⊙O于点A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，∠ACE=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°．                
又∵∠E=∠E，
∴Rt△ECA∽Rt△EAB，
∴

EC

AE

=

AE

EB

，
∴AE²=EB•EC．

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质等知识．