Question

13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求A、B的坐标．
（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出点A，B坐标；
（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判断出，△AOB≌△AOC即可；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，
∴x=3或x=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0）；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵B（-3，0），
∴C（3，0），
∴OC=OB，
在△AOB和△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠AOB=AOC}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠BAO=∠CAO，
∴射线AO是∠BAC的平分线
（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，
AC解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，直线L过（$\frac{3}{2}$，2），且k值$\frac{3}{4}$（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$），
④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，

根据等积法求出CN=$\frac{24}{5}$，勾股定理得出，AN=$\frac{7}{5}$，做A关于N的对称点即为F，AF=$\frac{14}{5}$，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=$\frac{14}{5}$，
∴F（-$\frac{42}{25}$，-$\frac{22}{7}$）
综上所述，满足条件的点有四个：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；F₃（-$\frac{75}{14}$，-$\frac{22}{7}$）；F₄（-$\frac{42}{25}$，$\frac{44}{25}$）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，判断出AO平分∠BAC，难点是分类讨论．