Question

4．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C．
（1）求证：△PBC是等腰三角形；
（2）若⊙O的半径为$\sqrt{5}$，OP=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由BC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OBA+∠ABC=90°，由垂直的定义得到∠OPA+∠A=90°，等量代换得到∠A=∠OBA，∠ABC=∠OPA=∠CPB，进一步得到结果．
（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（$\sqrt{5}$）²+x²=（x+1）²，然后解方程即可．

解答 （1）证明：
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBA+∠ABC=90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°．
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA．
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；
∴△PBC是等腰三角形；
（2）解：设BC=x，则PC=x，
在Rt△OBC中，OB=$\sqrt{5}$，OC=CP+OP=x+1，
∵OB²+BC²=OC²，
∴（$\sqrt{5}$）²+x²=（x+1）²，
解得x=2，
即BC的长为2．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．