Question

如图，直线y=-x+b与x轴交于点C，与反比例函数y=

k

x

的图象相交于点A、B，若OC²-OA²=10，则k=

5

．

Answer 1

分析：过点A作AE⊥x轴于点E，根据直线y=-x+b可得∠ACE=45°，从而判定出△ACE是等腰直角三角形，然后根据反比例函数解析式设点A的坐标为（x，

k

x

）表示出OE、OA、OC的长度，在Rt△AOE中，利用勾股定理表示出OA的平方，然后代入已知条件整理即可得解．

解答：解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵直线y=-x+b与x轴交于点C，
∴∠ACE=45°，
又点A在反比例函数y=

k

x

的图象上，
设点A坐标为（x，

k

x

），
则CE=AE=

k

x

，
在Rt△AOE中，OA²=OE²+AE²=x²+（

k

x

）²，
又∵OC²=（OE+EC）²=（x+

k

x

）²=x²+2k+（

k

x

）²，
∴OC²-OA²=x²+2k+（

k

x

）²-x²-（

k

x

）²=2k=10，
解得k=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，作出辅助线构造出等腰直角三角形以及直角三角形，用点A的横坐标与纵坐标分别表示出OA、OC的平方是解题的关键，此题设计巧妙．