Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为4，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，且AC=CD，∠COD=60°
（1）求大圆半径的长；
（2）若大圆的弦AE长为8

2

，请判断弦AE与小圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）过0点作OH⊥CD于H，在Rt△OCH中，根据勾股定理即可求得CH的长，然后在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得OA的长；
（2）过0点作OG⊥AE，垂足为G，证明OG等于圆的半径，即可求解．

解答：解：（1）过0点作OH⊥CD于H，（1分）
在Rt△OCH中，OH²=OC²-CH²
∵OC=OD，∠COD=60°
∴OC=CD=4，∴CH=2
∴OH=2

3

（2分）
∵AC=4，∴AH=6（1分）
在Rt△AOH中，AO²=AH²+OH²
∴AO=4

3

（2分）

（2）过0点作OG⊥AE，垂足为G（1分）
∴AG=

1

2

AE=4

2

（2分）
在Rt△AOG中，AO²=AG²+OG²
∴OG=4，（1分）
∴G在小圆O上
∵OG⊥AE
∴大圆的弦AE与小圆相切．（2分）

点评：本题主要考查了垂径定理以及切线的判定，证明圆心到直线的距离等于半径，可以证得圆的切线．