Question

20．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先由题意根据抛物线的对称性求得点B的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；再利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点、点C为直角顶点、点P为直角顶点去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，
∴B的坐标为：（-3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3），
把C（0，3）代入，-3a=3，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x²-2x+3；
把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线y=mx+n的解析式为：y=x+3；

（2）设P（-1，t），
又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC²+PB²=PC²，
即：18+4+t²=t²-6t+10，解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²，
即：18+t²-6t+10=4+t²，解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²，
即：4+t²+t²-6t+10=18，
解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式以及直角三角形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．