Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=8，BC=6，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（3）根据勾股定理求出AC长，证出△DEB∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；

（2）解：BE为⊙O的切线，
理由如下：
连接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；

（3）解：在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵BE⊥DC，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠ABC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴△DEB∽△ABC，
∴

DE

AB

=

BD

AC

，
∴

DE

8

=

8

10

∴DE=

32

5

．

点评：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定的应用，题目比较典型，综合性比较强．