Question

1．如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的结论有①②③④（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE；
②由△ACD≌△BCE得∠CEB=∠CDA，加之∠ACB=∠DCE=60°，可得∠PCD=60°，DC=EC，得到△CDP≌△CEQ（ASA）；
③由△CDP≌△CEQ，得到PC=QC，再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，即可证明；
④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知正确．

解答 解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴①正确，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，
在△CDP和△CEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDC=∠QEC}\\{DC=EC}\\{∠PCD=∠QCE}\end{array}\right.$
∴△CDP≌△CEQ，②正确；
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE③正确，
∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质证明△CDP≌△CEQ．