Question

15．己知：AB是⊙O的直径，点E，C是⊙O上的两点，AC平分∠BAD，AD⊥CD．若CD=8，DE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接OC，BC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定证出CD是⊙O的切线，由切线长定理求出AD，由勾股定理求出AC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，求出AB，即可得出⊙O的半径．

解答 解：连接OCBC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCF，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴CD是⊙O的切线，
∴CD²=DE•DA，即8²=4×DA，
∴DA=16，
∴AC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{A}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{8\sqrt{5}}{AB}=\frac{16}{8\sqrt{5}}$，
解得：AB=20，
∴OA=10，
即⊙O的半径为10．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线性质和判定，等腰三角形性质，切线长定理等知识；本题综合性强，证明CD是⊙O的切线是解决问题的关键．