Question

10．正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值是2+$\sqrt{3}$，最小值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作点M关于CB的对称点M′连接AM′、M′C，AM′交BC与点P，由等腰三角形三线合一的性质可知∠MCP=∠ACP=30°，由轴对称的性质可知∠MCP=∠M′CP，从而得到∠ACM′=90°，在Rt△AM′C中利用勾股定理可求得AM′的长，从而可求得PA+PM的最小值；如图2所示；当点P与点C重合时，PA+PM有最大值．

解答 解：如图1所示：作点M关于CB的对称点M′连接AM′、M′C．

∵点M与点M′关于BC对称，
∴MP=M′P，∠MCP=∠M′CP．
∵△ABC是正三角形，M是AB的中点，
∴MC=CM′，∠MCP=∠ACP=30°．
∴∠MCP=∠ACP=∠M′CP=30°．
∴CM′=MC=BC×cos30°=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴∠ACM′=90°．
∴AM′=$\sqrt{A{M}^{2}+M′{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴PA+PM的最小值是$\sqrt{7}$．
如图2所示：当点P与点C重合时．PM+PA有最大值．

∵PM=$\sqrt{3}$，AP=2，
∴PA+PM=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2+$\sqrt{3}$；$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查的轴对称最短路径问题、勾股定理的应用、等腰三角形的性质，明确当点M′、P、A在一条直线上时，PM+PA有最小值，当点P与点C重合时，PM+PA有最大值是解题的关键．