Question

13．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，且BC=BO，D是⊙O上一动点且在AB的上方，以CD为边在CD的下方作正方形CDFE，DF和直径AB交于点O，连接FO，DO，AD，延长FO交AD于H．
（1）如图1，当DF经过O时，求∠ACD的度数；
（2）如图2，若点G恰好是OB的中点，①求证：△OGD∽△ODC；②求tan∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ODC中，求出∠ACD的值即可解决问题．
（2）①设OG=GB=a，则OB=BC=OD=2a，可知OD²=OG•OC=4a²，推出$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OD}$，由∠DOG=∠COD，即可证明△DOG∽△COD．
②连接BD，作GM⊥AD于M，GN⊥DB于N．只要证明∠BDG=∠CDB=∠ADG，由GM⊥AD，GN⊥DB，推出GM=GN，可知S_△ADG：S_△DGB=$\frac{1}{2}$AD•GM：$\frac{1}{2}$•DB•GN=AD+DB=AG：GB=3：1，推出tan∠DAC=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$即可．

解答 （1）解：如图1中，

∵四边形EFDC是正方形，
∴∠ODC=90°，
∵OB=BC=OD，
∴OC=2OD，
∴sin∠ACD=$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACD=30°．

（2）解：如图2中，

①证明：设OG=GB=a，则OB=BC=OD=2a，
∴OD²=OG•OC=4a²，
∴$\frac{OD}{OG}$=$\frac{OC}{OD}$，∵∠DOG=∠COD，
∴△DOG∽△COD．

②连接BD，作GM⊥AD于M，GN⊥DB于N．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠GDC=90°，
∴∠ADG=∠CDB，
∵△DOG∽△COD，
∴∠ODG=∠DCB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODG+∠BDG=∠BDC+∠DCB，
∴∠BDG=∠CDB=∠ADG，
∵GM⊥AD，GN⊥DB，
∴GM=GN，
∵S_△ADG：S_△DGB=$\frac{1}{2}$AD•GM：$\frac{1}{2}$•DB•GN=AD+DB=AG：GB=3：1，
∴$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠DAC=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，本题体现了数形结合的数学思想，学会添加常用辅助线，掌握用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．