Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（ x₁＜0＜x₂），与y轴交于点C（0，-2），若OB=4OA，且以AB为直径的圆过C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在此抛物线上，且AD∥CB．
①求D点的坐标；
②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，-2）确定出c=-2．在Rt△AOC、Rt△BOC、Rt△ABC中多次利用勾股定理得到AB²=AC²+BC²=AO²+OC²+OC²+OB²，即（x₂-x₁）²=x₁²+4+4+x₂²．根据OB=4OA，则得x₂=-4x₁．根据抛物线顶点坐标-

b

a

=x1+x2，

4ac-b2

4a

=x1•x2．联立解方程求得c、a、b、x₁、x₂的值．则抛物线解析式确定．
（2）①通过观察图形，点D在此抛物线上，且AD∥CB，因而首先求得BC的关系式，进而确定BC的斜率，那么AD的斜率也就确定，根据A点可写出AD的解析式．联立抛物线y=

1

2

x2-

3

2

x-2，可求得D点的坐标．
②设P点的坐标为（k，

1

2

k2-

3

2

k-2），利用P、A、B、C点的坐标分别表示出S_△APD、S_{四边形ACBD}代入求得k的值．P点的坐标也即可确定．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，-2），
∴c=-2，则抛物线转化为y=ax²+bx-2，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（ x₁＜0＜x₂），OB=4OA，
∴x₂=-4x₁，ax²+bx-2=0，
由题意列出如下关系式：

x1+x2=- b a x1x2= c a x2=-4x1 x1＜0＜x2 c=-2 x12+4+x22+4=(x1-x2)2

，
解得c=-2，a=

1

2

，b=-

3

2

，x₁=-1，x₂=4，
∴此抛物线的解析式是y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（2）①由（1）知

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
解得x=-1或4，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（4，0），
设直线BC的函数关系式为y=kx-2，直线AD的函数关系式为y=k（x+1），
∵直线BC经过B点的坐标，
∴0=4k-2，k=

1

2

，
∴直线AD的函数关系式为y=

1

2

(x+1)，
∵点D为抛物线y=

1

2

x2-

3

2

x-2与直线y=

1

2

x+

1

2

的交点，
联立解方程
解得x=5、y=3，或x=-1、y=-

1

2

（不合题意舍去）
∴D点的坐标为（5，3）；
②设P点的坐标为（k，

1

2

k2-

3

2

k-2）
由上面知D点的坐标为（5，3）、A点的坐标（-1，0）、B点的坐标为（4，0）、C点的坐标为（0，-2），
则由题意得S_△APD=S_{四边形ACBD}?

1

2

•(k+1)•[3-(

1

2

k2-

3

2

k-2)]=

1

2

•5•3+

1

2

•5•2?k³-2k²-13k+40=0，
解得k=

-6+ 6

3

或

-6- 6

3

，则P点的坐标为或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．
答：（1）此抛物线的解析式y=

1

2

x2-

3

2

x-2；（2）①D点的坐标为（5，3）；②存在符合条件的P点坐标，此时P点坐标为(

-6+ 6

3

，

-16+ 6

6

)或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法、勾股定理．在求有关动点问题时要注意x的去值，计算面积时在取值中要注意坐标符号．