Question

【题目】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高h cm处开一个小孔．

（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．

Answer 1

【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm

【解析】

（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；

（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案；

（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．

解：(1)∵s2=4h(H-h)，

∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，

∴当h=10时，s2有最大值400，

∴当h=10时，s有最大值20cm．

∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；

故答案为：最大射程是20cm.

(2) ∵s2=4h(20-h)，

设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：

4a(20-a)=4b(20-b)，

∴20a-a2=20b-b2，

∴a2-b2=20a-20b，

∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，

∴(a-b)(a+b-20)=0，

∴a-b=0或a+b-20=0，

∴a=b或a+b=20.

故答案为：a=b或a+b=20.

(3)设垫高的高度为m，则

∴当时，

∴时，此时

∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．

故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm.