Question

11．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB=14，cos∠CAB=$\frac{7}{8}$，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；
（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE-AO求解即可．

解答 解：（1）∵∠CAB=∠ACB，
∴AB=CB，
∴?ABCD是菱形．
∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{7}{8}$，AB=14，
∴AO=14×$\frac{7}{8}$=$\frac{49}{4}$，
在Rt△ABE中，cos∠EAB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{7}{8}$，AB=14，
∴AE=$\frac{8}{7}$AB=16，
∴OE=AE-AO=16-$\frac{49}{4}$=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．