Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

(1)求证：EF为⊙O的切线；

(2)若sin∠ABC＝，CF＝1，求⊙O的半径及EF的长．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连结OD 　　∵AB是直经 　　∴∠ACB＝90° 　　∵EF∥BC 　　∴∠AFE＝∠ACB＝90° 　　∵OA＝OD 　　∴∠OAD＝∠ODA 　　又∵AD平分∠BAC 　　∴∠OAD＝∠DAC 　　∴∠ODA＝∠DAC 　　∴OD∥AF 　　∴∠ODE＝∠AFD＝90° 　　即OD⊥EF 　　又∵EF过点D 　　∴EF是⊙O的切线 　　解：(2)连结BD，CD 　　∵AB是直经 　　∴∠ADB＝90° 　　∴∠ADB＝∠AFD 　　∵AD平分∠BAC 　　∴∠OAD＝∠DAC 　　∴BD＝CD 　　设BD＝CD＝a 　　又∵EF是⊙O的切线 　　∴∠CDF＝∠DAC 　　∴∠CDF＝∠OAD＝∠DAC 　　∴△CDF≈△ABD≈△ADF 　　∴　 　　∵sin∠ABC＝＝ 　　∴设AC＝4x，AB＝5x 　　∴　 　　∴在Rt△CDF中 　　 　　又∵ 　　∴　x＝2 　　∴AB＝5x＝10　AC＝4x＝8 　　∵EF∥BC 　　∴△ABC≈△AEF 　　∴　　 　　∴在Rt△AEF中