Question

【题目】如图，平分，且，垂足分别是，连结与交于点．

（1）求证：是线段的垂直平分线；

（2）若，求的周长和四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的判定定理证明点E，点O都在线段CD的垂直平分线上，即可得到是线段的垂直平分线；

（2）先证明△OCD是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出周长及面积．

（1）证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE=DE，

∴点E是在线段CD的垂直平分线上．

在Rt△OCE和Rt△ODE中，

，

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)，

∴OC=OD，

∴点O是在线段CD的垂直平分线上，

∴OE是线段CD的垂直平分线．

（2）解：∵∠ECD=30°，∠OCE=90°，

∴∠OCD=60°．

∵OC=OD，

∴△OCD是等边三角形．

∵OC=，

∴△OCD的周长为3

∵∠OCD=60°，

∴∠COE=30°，

∴OE=2CE．

设CE=x，则OE=2x．

由勾股定理，得(2x)2=x2＋()2，

解得：x=1，即CE=1，

∴四边形OCED的面积=2S△OCE=2×·OC·EC==