Question

如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第一根小棒，且A₁A₂=AA₁．
（1）小棒能无限摆下去吗？答：

不能

．（填“能”或“不能”）
（2）若已经摆放了3根小棒，则θ₁=

2θ

，θ₂=

3θ

，θ₃=

4θ

；（用含θ的式子表示）
（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．

Answer 1

分析：（1）由于小棒的长度一定，依此即可求解；
（2）根据等边对等角可得∠BAC=∠AA₂A₁，∠A₂A₁A₃=∠A₂A₃A₁，∠A₃A₂A₄=∠A₃A₄A₂，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（3）求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．

解答：解：（1）小棒不能无限摆下去；

（2）∵小木棒长度都相等，
∴∠BAC=∠AA₂A₁，∠A₂A₁A₃=∠A₂A₃A₁，∠A₃A₂A₄=∠A₃A₄A₂，
由三角形外角性质，θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；

（3）∵只能摆放4根小木棒，
∴

4θ+4θ＜180° 5θ≥90°

，
解得18°≤θ＜22.5°．
故答案为：不能；2θ，3θ，4θ．

点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，（3）列出不等式组是解题的关键．