Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB：OC=1：3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO=2．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）点D在（1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC为一底边的梯形，求经过B、D两点的一次函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q，在抛物线上是否存在点P，使直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出OC=3OB，OE=9OB，进而得出A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9），再利用交点式求出二次函数解析式；
（2）根据梯形的两底平行得出AD∥BC，则D、A两点纵坐标相同，得出D点坐标，设直线BD的解析式为y=kx+b，将B、D两点坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BD的解析式；
（3）先运用待定系数法求出直线CE的解析式，得到Q点坐标为（2，3）．当直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角时，分两种情况进行讨论：①直线PQ与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，设直线PQ与y轴交于点F，过点Q作QM⊥y轴于点M，由∠QFM=∠ABO，根据正切函数的定义得出F点坐标，得到直线FQ的解析式，然后与抛物线的解析式联立，即可求出点P的坐标；②直线PQ与x轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，过点Q作AB的平行线PQ，交x轴于点G，求出直线GQ的解析式，然后与抛物线的解析式联立，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）依题意得：∠AOB=∠COE=90°，
∴

OA

OB

=tan∠ABO=2，

OE

OC

=tan∠OCE=3，
∴OA=2OB，OE=3OC．
∵OB：OC=1：3，
∴OC=3OB，
∴OE=9OB．
∵AE=7，
∴9OB-2OB=7，
∴OB=1，OC=3，OA=2，OE=9，
∴A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9）．
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
∴2=-3a，即a=-

2

3

，
∴抛物线解析式为：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
∴y_D=y_A=2，
∴D（2，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

0=-k+b 2=2k+b

，
解得：

k= 2 3 b= 2 3

，
∴直线BD的解析式为y=

2

3

x+

2

3

；

（3）易知直线CE的解析式为y=-3x+9，Q（2，3）．
当直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角时，分两种情况：
①如图1，设直线PQ与y轴交于点F，∠QFE=∠ABC．过点Q作QM⊥y轴于点M，则∠QME=∠AOB=90°．
∵∠QFM=∠ABO，
∴tan∠QFM=tan∠ABO=2，
∴

QM

MF

=2，
∵Q（2，3），
∴MF=

1

2

QM=1，MO=3，
∴F（0，2）与A点重合，即P₁（0，2）．
经验证，P₁（0，2）在抛物线y=-

2

3

x²+

4

3

x+2上．
易求得，直线FQ的解析式为y=

1

2

x+2，
由

y= 1 2 x+2 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1=0 y1=2

，

x2= 5 4 y2= 21 8

，
∴点P₂的坐标为（

5

4

，

21

8

）；
②如图2，过点Q作AB的平行线PQ，交x轴于点G，∠QGC=∠ABC．
易求直线AB的解析式为y=2x+2，则直线GQ的解析式为y=2x-1．
由

y=2x-1 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1= -1+ 19 2 y1=-2+ 19

，

x2= -1- 19 2 y2=-2- 19

，
∴点P₃的坐标为（

-1+ 19

2

，-2+

19

），点P₄的坐标为（

-1- 19

2

，-2-

19

）；
综上所述，满足条件的点P的坐标为
P₁（0，2），P₂（

5

4

，

21

8

），P₃（

-1+ 19

2

，-2+

19

），P₄（

-1- 19

2

，-2-

19

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，锐角三角函数的定义，二次函数的性质，两函数交点坐标的求法，等腰梯形的性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．