Question

14．如图．正方形ABCD的边长为4，点E为AD边上一点．，AE=1，连接AC，CE，过点E作AB的平行线交AC于点P₁，过点P₁作AD的平行线交CE于Q₁，再过Q₁作AB的平行线交AC于P₂，…如此不断进行下去形成△AEP₁，△P₁Q₁P₂，△P₂Q₂P₃，…，记它们的面积之和为S₁，类似地形成△EP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，记它们的面积之和为S₂，则$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 先证明${S}_{△E{P}_{1}{Q}_{1}}$：${S}_{△AE{P}_{1}}$=3：4，同理：${S}_{△{Q}_{1}{Q}_{2}{P}_{2}}$：${S}_{△{P}_{1}{P}_{2}{Q}_{1}}$=3：4，…由此即可解决问题．

解答 解：正方形ABCD中，∠CAD=45°，
∵P₁Q₁∥P₂Q₂=P₃Q₃…，
∴∠Q₁PC=∠Q₂P₂C=Q₃P₃C=…=45°．
∵P₁E∥P₂Q₁∥P₃Q₂∥…∥AB，
∴△AP₁E，△P₁Q₁P₂，△P₂Q₂P₃都是等腰直角三角形，
∴P₁E=AE，P₁Q₁=P₂Q₁，P₃Q₂=P₂Q₂，…
∵CD∥EP₁，
∴∠DCE=∠Q₁EP₁，
∴tan∠DCE=tan∠Q₁EP₁，=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{E{P}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，
∴${S}_{△E{P}_{1}{Q}_{1}}$：${S}_{△AE{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•EP₁•P₁Q₁：$\frac{1}{2}$•AE•EP₁=3：4，
同理：${S}_{△{Q}_{1}{Q}_{2}{P}_{2}}$：${S}_{△{P}_{1}{P}_{2}{Q}_{1}}$=3：4，…
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3}{4}$．
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．